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★ त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन - चर (Trigonometric substitution)



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★ त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन

गणित के संदर्भ में त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का अर्थ है गैर-त्रिकोणमितीय विमान में जगह की त्रिकोणमितीय विमान स्थापित करने के लिए. मैं उपयोग के कुछ बिक्री सरल हो जाते हैं.

प्रतिस्थापन 1. यदि कॉल integrand में एक 2 x 2 है, तो

x = a sin ⁡ θ {\displaystyle x=a\sin \theta }

रखने के लिए और यह सेवा का उपयोग करें-

1 − sin 2 ⁡ θ = cos 2 ⁡ θ. {\displaystyle 1-\sin ^{2}\theta =\cos ^{2}\theta.}

रिप्लेसमेंट 2. अगर integrand शामिल है एक 2 x 2,

x = a tan ⁡ θ {\displaystyle x=a\tan \theta }

और उपयोग की पहचान

1 तन 2 ⁡ θ = sec 2 ⁡ θ. {\displaystyle 1 \तन ^{2}\थीटा =\sec ^{2}\थीटा.}

प्रतिस्थापन 3. अगर integrand होता x 2 − 2, चलो

x = a sec ⁡ θ {\displaystyle x=a\sec \theta }

और उपयोग की पहचान

sec 2 ⁡ θ − 1 = tan 2 ⁡ θ. {\displaystyle \sec ^{2}\theta -1=\tan ^{2}\theta.}
                                     

1.1. उदाहरण. Integrals युक्त एक 2 x 2. (Integrals containing a 2 x 2)

में अभिन्न

∫ d x a 2 − x 2 {\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}}

हम का उपयोग कर सकते हैं

x = a sin ⁡ θ, d x = a cos ⁡ θ d θ, θ = arcsin ⁡ x a {\displaystyle x=a\sin\theta,\quad \mathrm {d} x=a\cos\theta\,\mathrm {d} \theta,\quad \theta =\arcsin \left{\frac {x}{a}}\right} ∫ d x a 2 − x 2 = ∫ a cos ⁡ θ d θ a 2 − a 2 sin 2 ⁡ θ = ∫ a cos ⁡ θ d θ a 2 1 − sin 2 ⁡ θ) = ∫ a cos ⁡ θ d θ a 2 cos 2 ⁡ θ = ∫ d θ = θ + C = arcsin ⁡ x a + C {\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}&,=\int {\frac {a\cos\theta\,\mathrm {d} \theta }{\sqrt {a^{2}-a^{2}\sin ^{2}\theta}}}\\&,=\int {\frac {a\cos\theta\,\mathrm {d} \theta }{\sqrt {a^{2}1-\sin ^{2}\theta)}}}\\&,=\int {\frac {a\cos\theta\,\mathrm {d} \theta }{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\theta}}}\\&,=\int \mathrm {d} \theta \\&,=\theta +C\\&,=\arcsin \left{\tfrac {x}{a}}\right+C\end{aligned}}}

ध्यान दें कि उपरोक्त कदम की आवश्यकता है कि एक और जी. टी., 0 और cosθ और जी. टी., 0, हम चुन सकते हैं एक किया जा करने के लिए सकारात्मक का वर्गमूल 2, और हम थोपने पर प्रतिबंध θ किया जा करने के लिए −π/2 और लेफ्टिनेंट, मैं और लेफ्टिनेंट, π/2 का उपयोग करके arcsin समारोह.

के लिए एक निश्चित अभिन्न, एक बाहर आंकड़ा चाहिए कि कैसे सीमा के एकीकरण में परिवर्तन. उदाहरण के लिए, एक्स के रूप में चला जाता है करने के लिए 0 से एक /2, तो sinθ चला जाता है, 0 से करने के लिए 1/2, तो θ से चला जाता है, 0 करने के लिए π/6. तो फिर हम है

∫ 0 a 2 d x a 2 − x 2 = ∫ 0 π 6 d θ = π 6. {\displaystyle \int _{0}^{\frac {a}{2}}{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {a^{2}-x^{2}}}}=\int _{0}^{\frac {\pi }{6}}\mathrm {d} \theta ={\tfrac {\pi }{6}}.}

कुछ देखभाल की जरूरत है जब चुनने सीमा. एकीकरण से ऊपर की आवश्यकता है कि −π/2

                                     
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शब्दकोश

अनुवाद

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3.4.1 प्रतिस्थापन विधि 3.4.2 विलोपन विधि 3.4.3 वज्र गुणन विधि 3.5 दो चरों 8.1 भूमिका 8.2 त्रिकोणमितीय अनुपात 8.3 कुछ विशिष्ट कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात 8.4 पूरक कोणों के त्रिकोणमितीय अनुपात 8.5 त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ 8.6 सारांश. Rajasthan Board Class 12 Maths Book Chapter 9. एक शब्द प्रतिस्थापन, वाक्य, सक्रिय प्रत्यक्ष में क्रिया का निष्क्रिय आवाज, रूपांतरण अप्रत्यक्ष कथन के सुधार, त्रिकोणमिति – त्रिकोणमिति, त्रिकोणमितीय अनुपात, पूरक कोण, ऊंचाई और दूरी सरल समस्याओं केवल की तरह साइन20. अनटाइटल्ड Biharboard 10th Result 2020. त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन. SSC की तैयारी कैसे करे SSC CGL की सम्पूर्ण. अब कक्षा 10 में रैखिक समीकरणों की जोड़ी का समाधान है, जैसे कि विभिन्न तरीकों का प्रयोग, जैसे कि ग्राफिक, उन्मूलन, प्रतिस्थापन और पार गुणन। इसलिए, इस तरह की दूरी को मापने में त्रिकोणमितीय अनुपात की विधि उपयोगी है।.


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